Die Zeit 18/2003

Mathe mit Lasso

Hat ein Russe die Poincarésche Vermutung bewiesen?
Ihm winkt eine Million Dollar

Von Annette Leßmöllmann

Sechs Jahre lang war es still um Grigorij Perelman. Der Mathematiker hatte sich in der Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg verschanzt – ein armer russischer Gelehrter, der sich mit Erspartem durchschlagen musste, das er zuvor von seinen Gehältern an verschiedenen Instituten in den USA abgeknapst hatte. Publizieren wollte der Mittdreißiger, der einen guten Ruf als Mathematiker hatte, offenbar nichts mehr. Doch im November 2002 stellte Perelman ohne großes Aufsehen einen Artikel ins Internet, und den Kollegen dämmerte: Der Russe hat möglicherweise ein Jahrhundertproblem gelöst. Ungläubig fragte ein Mathematiker per E-Mail an, ob Perelman etwa die berühmte Poincaré-Vermutung bewiesen habe. Die schlichte Antwort: „That’s correct.“

Wenn das stimmt, dürften Stille und Armut die längste Zeit Perelmans Begleiter gewesen sein. Derzeit wird der Russe durch die wichtigsten Institute der amerikanischen Ostküste gereicht, um sich den Fragen der Kollegen zu stellen. In Cambridge, Massachusetts, winkt ihm auch das Ende seiner Geldsorgen: Das dortige Clay Mathematics Institute, eine Stiftung des schwerreichen Bostoner Geschäftsmannes Landon Clay, hatte zur Jahrtausendwende eine Million Dollar für jene ausgelobt, die eine der „sieben wichtigsten“ ungelösten Fragen der Mathematik beantworten – ähnlich wie der deutsche Mathematiker Hilbert im Jahr 1900 seinen Kollegen 23 mathematische Jahrhundertfragen aufgab.

Auch für den Beweis der Poincaré-Vermutung hat das Clay-Institut eine Million parat. Perelman könnte der Erste sein, der in ihren Genuss kommt. „Bei ihm sehen wir echte Chancen“, sagt der Heidelberger Mathematiker Matthias Kreck. In Perelmans Arbeit stecke ein wirklich neuer Dreh. Und jeder, der den Russen auf mögliche Schwachpunkte ansprach, habe erkennen müssen: Er hat bislang auf alles eine Antwort.

Gerade bei Jahrhundertbeweisen spähen die Kollegen mit Habichtsaugen auf jeden Rechenschritt, denn auch den Größten passieren Fehler: 1993 hatte der Princeton-Professor Andrew J. Wiles den berühmten Fermatschen Letzten Satz nach jahrelanger einsamer Forschung für bewiesen erklärt und stolz publiziert. Doch dann fand sich eine Lücke im Beweis, und Wiles musste zurück an den Schreibtisch. Auch an der Poincaré-Vermutung sind viele Mathematiker gescheitert, zuletzt musste der Brite Martin Dunwoody vergangenes Jahr einen angeblichen Beweis zurückziehen.

Henri Poincaré selbst hatte für seine Vermutung einen Beweis geführt, den er aber später als falsch erkannte. Der französische Mathematiker hatte sich einer zentralen Frage der Topologie zugewandt: Wie kann man bestimmte geometrische Objekte, die drei oder mehr Dimensionen haben, durch möglichst einfache Eigenschaften charakterisieren?

Kugeln, wie zum Beispiel der Erdball, besitzen eine Oberfläche mit besonderen Eigenschaften: Sie haben weder Ränder noch Löcher. Legte man also ein Seil wie ein Lasso um die Oberfläche, kann man es an jeder Stelle zusammenziehen, bis es nur noch aus einem Punkt besteht – ohne dass das Seil die Oberfläche durchschneidet oder zerquetscht. Das geht nur bei Kugeln oder bei bestimmten Verzerrungen der Kugel, wie zum Beispiel einem Ei. Bei Objekten mit einem Loch, beispielsweise einem Schwimmreifen, gilt diese Lasso-Regel nicht: Knüpft man ein Seil um den Reifen – so, als wolle man ihn einem Schwimmer zuwerfen –, kann man das Lasso nicht zuziehen, ohne den Reifen zu zerschneiden oder zu zerquetschen.

Während diese Eigenschaft auch Nichtmathematikern einleuchtet, ist die Umkehrung ein echter mathematischer Satz: Jede (zweidimensionale) Oberfläche, bei der man ein beliebig ausgelegtes Lasso auf einen Punkt zusammenziehen kann, ist eine Kugel (oder eine Verzerrung davon). Poincaré fragte sich: Wie sind die geometrischen Verhältnisse in höheren Dimensionen? Welche Eigenschaft hat also die dreidimensionale Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel? Poincarés Vermutung: Sie ist nicht nur lochfrei und randlos, sondern man kann sie auch mit der Lasso-Eigenschaft charakterisieren.

Das Denken in anderen Dimensionen war den Mathematikern vertraut, seit Bernhard Riemann 1854 die Euklidische Geometrie überwand und zeigte, dass der Raum sich krümmen kann. Auch Einsteins Relativitätstheorie arbeitet mit der Raumkrümmung, und möglicherweise ist unser Universum genau das, was Poincaré zu charakterisieren suchte: eine Art dreidimensionale Oberfläche einer Kugel. Aber Poincaré gelang es nicht, die höherdimensionalen Oberflächen mit der Lasso-Eigenschaft zu beschreiben. Ebendiese Regeln glaubt Perelman nun erfasst zu haben.

Doch der Beweis der Poincaré-Vermutung ist für ihn nur ein Nebenschauplatz, den er in seinem Papier so bescheiden versteckt, dass die Kollegen erst einmal nachfragen mussten. „Bescheiden oder kokett? Das ist hier die Frage“, wundert sich Kreck. Worum es dem Russen eigentlich geht, ist offenbar die „Geometrisierungs-Vermutung“, womit nicht weniger gemeint ist als eine komplette Charakterisierung des dreidimensionalen Raumes.

Dabei geht es – ganz grob – um das Problem, ein geometrisches Ganzes aus Teilen zusammenzusetzen. Das lässt sich an der Erdoberfläche verdeutlichen: Versucht man, einen Globus auf ein Blatt Papier zu bringen, wird die Karte verzerrt. Überträgt man dagegen nur kleine Teile der Weltkarte, sind die Verzerrungen weniger gravierend. Genauso geht die Geometrie vor: Sie gibt nicht dem Ganzen eine Struktur, sondern definiert diese für jedes einzelne Teil. Hat jedes Teil die gleiche Struktur, spricht man von einer Mannigfaltigkeit. Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten waren schon im 19. Jahrhundert weitgehend verstanden, aber bereits dreidimensionale erwiesen sich als hochkomplex und vierdimensionale als nicht erfassbar. Dieser Herausforderung will sich Perelman stellen – und nebenbei auch Poincarés Nuss knacken.

Das Problem könnte nur sein, dass der Russe noch nicht alle Details sauber aufgeschrieben hat. Das Clay Institut verlangt aber die Veröffentlichung in einer exzellenten Zeitschrift und danach eine Wartezeit von zwei Jahren, bis alle die Chance hatten, Lücken im Beweis zu finden. Erst danach weiß Grigorij Perelman, ob ihm eine Million winkt. Oder doch wieder die einsame Dachstube.

(c) Die Zeit 18/2003